Analysis III by Prof. Dr. Christian Blatter (auth.) PDF

By Prof. Dr. Christian Blatter (auth.)

ISBN-10: 3540108920

ISBN-13: 9783540108924

ISBN-10: 3662006855

ISBN-13: 9783662006856

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5) liegen daher ihre Gradienten F i in S;, und es folgt: UcS;. Anderseits sind die F i nichts anderes als die Zeilen- 225. Lagrangesehe Multiplikatoren vektoren der Matrix [~~Ja' 35 und diese Matrix besitzt den Rang r. Hiernach ist U ein r-dimensionaler Unterraum von S! und damit in Wirklichkeit gleich S! (wie behauptet), denn S! besitzt ebenfalls die Dimension r: dirn S;=dim Ta -dirn Sa =n-(n-r)=r. 5) ist f im Punkt aES gen au dann bedingt stationär, wenn gradf(a) in S! liegt, und dies trifft nach dem eben Bewiesenen genau dann zu, wenn eine Relation der Form (4) besteht.

9) eine stetige und surjektive Umkehrfunktion f-l: IE---+A. 25) wäre dann A kompakt und könnte nicht offen sein. ~ Zur Darstellung von IE (im hier betrachteten Sinn) genügen jedoch die zwei Funktionen f: A:= ] -nn[ -+ IR 2 , t ...... (co~t, sint) , g: B:=]O,2n[ -+IR 2 , r ...... (cos r, sinr) , die je ein Intervall bijektiv auf eine Teilmenge von IE abbilden. Gehört ein Punkt pE IE zu beiden "Koordinatenpflastern", so sind fund g "in der Umgebung von p" 222. Tangentialebene 25 äquivalent. Wir betrachten etwa den Punkt p :=(0, -1) = f( -n/2) 7' g(3n/2).

Fr stetig differenzierbare reelle Funktionen auf der offenen Menge Ac:lR n• Dann definieren die r Gleichungen (1) Fl (x l' ... , Xn ) = 0, ... (X l' ... , Xn ) = 0 zusammen mit (2) OF-] rang [ox~ x =r eine (n-r)-Fläche Sc:A. I Sei a ein Punkt von S; dann besitzt die Matrix ox: [OF-] a nach Voraussetzung eine nicht verschwindende Unterdeterminante der Ordnung r, es ist also z. B. CFl ... OF1] oX l oXr (3) [ det: : oFr oFr oX l oXr ~o. a 22. 8) lassen sich daher die Gleichungen (1) in einer geeigneten Umgebung W von a nach den Variablen XI, ...

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